仙人掌[loj6496]

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loj

题意

给出一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图，其中每条边至多属于一个简单环，保证没有自环，可能有重边。你需要为其中每条边定向，其中第 $i$ 个点的出度不能超过 $a_i$，求方案数。

$n\leq 10^5,m\leq 2\times 10^5$。

题解

先来看看30分的树的部分分。

考虑DP，设 $f_{i,0/1}$ 表示以 $i$ 为根的子树，$i$ 与父亲的边指向/不指向 $i$ 时的方案数。

这个东西的转移是个卷积形式，用分治ntt进行优化即可。

时间复杂度 $O(n\log^2n)$。

考虑建出仙人掌的圆方树，然后在圆方树上DP。

当点是圆点时的转移与树的转移部分类似。

考虑方点时如何处理，也就是一个环上的情况：

方点

对于 $v$ 点而言，他有可能在这个环里有两个出度。因此，$f$ 数组改成 $f_{i,0/1/2}$ 表示以 $i$ 根的子树中，其他边连出去的出度为 $0/1/2$ 时的方案数。

在 $u$ 这个方点时考虑这个环，枚举 $u$ 和 $x$ 的这个边的顺序，然后下面从 $x$ 到 $y$ 的边的情况可以DP。

具体的，设 $g_{i,0/1}$ 为考虑到第 $i$ 个点，$i$ 和 $i-1$ 这条边的顺序为 $0/1$ 时的方案数，这个东西很好转移。

然后就做完了。时间复杂度 $O(n\log ^2n)$。

程序

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
#define fo(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i<=end_i;i++)
#define ff(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i< end_i;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i>=end_i;i--)
#define DEBUG(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define cle(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define db double
#define lb long db
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
inline int read()
{
	int x=0; char ch=getchar(); bool f=0;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') f=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	return f?-x:x;
}
#define CASET fo(___,1,read())
const ll mod=998244353;
inline ll Add(ll x,ll y){x+=y; return (x<mod)?x:x-mod;}
inline ll Dec(ll x,ll y){x-=y; return (x<0)?x+mod:x;}
inline ll Mul(ll x,ll y){return x*y%mod;}
inline ll Pow(ll x,ll y){y%=(mod-1);ll ans=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1) ans=ans*x%mod;return ans;}
const int M=1<<20;
ll W[M]; int R[M];
inline void PolyInit()
{
    ll w;
    for(int i=1;i<M;i<<=1)
    {
        W[i]=1; w=Pow(3,(mod-1)/2/i);
        fo(j,1,i-1) W[i+j]=W[i+j-1]*w%mod;
    }
}
typedef vector<ll> Poly;
inline void ntt(ll *a,int n,int t)
{
    fo(i,0,n-1)
    {
        R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
        if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    }
    ll w;
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
            for(int k=0;k<i;k++)
                w=W[i+k]*a[i+j+k]%mod,
                a[i+j+k]=Dec(a[j+k],w),
                a[j+k]=Add(a[j+k],w);
    if(t==1) return;
    reverse(a+1,a+n);
    w=Pow(n,mod-2);
    fo(i,0,n-1) a[i]=w*a[i]%mod;
}
inline void ntt(Poly &A,int n,int t){ntt(&A[0],n,t);}
inline Poly operator *(Poly A,Poly B)
{
	int n=A.size(),m=B.size(),k=n+m-1,len=1;
	for(;len<k;len<<=1);
	A.resize(len); ntt(A,len,1);
	B.resize(len); ntt(B,len,1);
	fo(i,0,len-1) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
	ntt(A,len,-1);
	A.resize(k);
	return A;
}
const int N=200010;

int n,m,a[N];
vector<int> adj[N],gra[N];

int st[N],top,dfn[N],low[N],tim,cnt;
void tarjan(int u,int pre)
{
	dfn[u]=low[u]=++tim; st[++top]=u;
	bool flag=0;
	for(auto v:gra[u])
		if(!dfn[v])
		{
			tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]==dfn[u])
			{
				++cnt;
				adj[u].pb(cnt);
				do
				{
					adj[cnt].pb(st[top]);
				}while (st[top--]!=v);
			}
			else if(low[v]>dfn[u]) adj[u].pb(v),top--;
		}
		else
		{
			if(v==pre&&!flag) {flag=1; continue;}
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
}

vector<Poly> vec;
Poly solve(int l,int r)
{
	if(l==r) return vec[l];
	int mid=l+r>>1;
	return solve(l,mid)*solve(mid+1,r);
}
Poly G;
ll f[N][3],g[N][2];
void dfs(int u)
{
	if(!adj[u].size())
	{
		f[u][0]=(a[u]>=0);
		f[u][1]=(a[u]>=1);
		f[u][2]=(a[u]>=2);
		return;
	}
	for(auto v:adj[u]) dfs(v);
	if(u<=n)
	{
		vec.clear();
		for(auto v:adj[u])
		{
			G.clear();
			if(v>n) G.pb(f[v][2]);
			G.pb(f[v][1]); G.pb(f[v][0]);
			vec.pb(G);
		}
		G=solve(0,vec.size()-1);
		ff(i,1,min((int)G.size(),a[u]+1)) G[i]=(G[i]+G[i-1])%mod;
		fo(i,0,2) if(a[u]>=i) f[u][i]=G[min((int)G.size()-1,a[u]-i)];
	}
	else
	{
		fo(k,0,1)
		{
			int i=0;
			g[0][k]=1; g[0][1-k]=0;
			for(auto v:adj[u])
				g[i+1][0]=(g[i][0]*f[v][1]+g[i][1]*f[v][2])%mod,
				g[i+1][1]=(g[i][0]*f[v][0]+g[i][1]*f[v][1])%mod,
				i++;
			fo(j,0,1)
				f[u][k+j]=Add(f[u][k+j],g[i][1-j]);
		}
	}
}

int main()
{
	PolyInit();
	cnt=n=read(); m=read();
	int x,y;
	fo(i,1,m)
	{
		x=read(),y=read();
		gra[x].pb(y); gra[y].pb(x);
	}
	fo(i,1,n) a[i]=read();
	tarjan(1,0);
	dfs(1);
	printf("%lld",f[1][0]);
	return 0;
}