简单的函数[loj6053]

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题意

定义一函数 $f$：

$$f(n)=\begin{cases}
1 & \text{ if } n=1 \
p \bigoplus c & \text{ if } n=p^c,p\in \mathbb{P} \
f(a)f(b) & \text{ if } n=ab,\gcd(a,b)=1
\end{cases}$$

求 $\sum_{i=1}^{n}f(i)$ 的值。

$n\leq 10^{10}$

题解

显然是Min25筛。

来看看Min25筛的前提条件：

  • $f$ 是积性函数。这个显然。
  • $f(p^k)$ 可以很快算出来，这个也显然。
  • $\sum_{i=1}^n[i\in \mathbb{P}]f(i)$ 能被 $\sum_{i=1}^n[i\in \mathbb{P}] i^k$ 表示出来。显然当 $i>2,i\in \mathbb{P}$ 时，有：$f(i)=i-1$。那么把 $f(2)$ 也当做 $2-1$，最后加上 $2$。因此有：$\sum_{i=1}^n[i\in \mathbb{P}]f(i)=\sum_{i=1}^n[i\in \mathbb{P}]i^1-i^0$。算两个 $i^k$ 即可。

时间复杂度 $O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})$

程序

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
const ll inv2=(mod+1)>>1;
inline ll Add(ll x,ll y){x+=y; return (x<mod)?x:x-mod;}
inline ll Dec(ll x,ll y){x-=y; return (x<0)?x+mod:x;}
inline ll Mul(ll x,ll y){return x*y%mod;}
inline ll Pow(ll x,ll y)
{
	y%=(mod-1);
	ll ans=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) ans=ans*x%mod;
	return ans;
}
const int N=1000000;
ll n,m,Sqr,pri[N],sp[N],id1[N],id2[N],w[N];
ll h[N],g[N];
bool vis[N];
int tot;
void init_prime(int n)
{
	vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) {pri[++tot]=i; sp[tot]=(sp[tot-1]+i)%mod;}
		for(int j=1;j<=tot&&1ll*i*pri[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

ll S(ll n,int j)
{
	if(n<=1||pri[j]>n) return 0;
	ll t=(n<=Sqr)?id1[n]:id2[::n/n];
	ll ans=(mod+(g[t]-sp[j-1])-(h[t]-(j-1))%mod)%mod;
	if(j==1) ans+=2;
	for(int k=j;k<=tot&&pri[k]*pri[k]<=n;k++)
	{
		ll tmp=pri[k];
		for(int q=1;tmp*pri[k]<=n;q++,tmp*=pri[k])
			ans=Add(ans,Add(pri[k]^(q+1),Mul(pri[k]^q,S(n/tmp,k+1))));
	}
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%lld",&n); Sqr=sqrt(n);
	init_prime(Sqr);
	for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i); w[++m]=n/i;
		h[m]=(w[m]-1)%mod;
		g[m]=(w[m]%mod)*((w[m]+1)%mod)%mod*inv2%mod-1;
		if(w[m]<=Sqr) id1[w[m]]=m;
		else id2[j]=m;
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		ll k=pri[i]*pri[i];
		for(int j=1;j<=m&&k<=w[j];j++)
		{
			int t=(w[j]/pri[i]<=Sqr)?id1[w[j]/pri[i]]:id2[n/(w[j]/pri[i])];
			h[j]=Add(h[j],(mod-(h[t]-(i-1)%mod))%mod);
			g[j]=Add(g[j],mod-1ll*pri[i]*(g[t]-sp[i-1]+mod)%mod);
		}
	}
	printf("%lld",(S(n,1)+1)%mod);
	return 0;
}