黑红兔[FJWC2020Day1]

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题目描述

problem

$n\leq 5\times 10^5$

题解

（好神仙的一道题）

首先经过一波分析，我得到了以下几个性质：

1，必定存在一种最优方案，使得子串的长度依次递减 1。即若答案为 $k$，则必有一种选法使得从左往右的子串大小为 $k,k-1\cdots2,1$。

2，答案不会超过 $\sqrt n$。

那么就可以进行DP，设 $f_i$ 表示从后往前考虑到第 $i$ 位时，以这一位开头的字符串作为第一个字符串，答案最大能是多少。

那么可以二分，考虑长度为 $mid$ 的字符串是否可行。

需要看在 $[i+mid,n]$ 内，是否存在一个 $j$，满足 $f_j\geq mid-1$，且 $s[j,n]$ 和 $s[i,i+mid-1]$ 的最长公共子串的长度是否大于等于 $mid-1$。

后面的部分就是：$lcp(i,j)\geq mid-1$ 或 $lcp(i+1,j)\geq mid-1$。

对于这两部分分开来考虑，而 $lcp(i,j)\geq mid-1$ 相当于 $rank_j$ 需要满足在某段区间内，这个区间可以用SA+RMQ+二分轻易求出，设这个区间为 $[l,r]$。

转换成二维数点求最大值转换成求 $\max_{i+mid\leq j \leq n,l\leq rank_j\leq r}{f_j}$。

考虑到 $n$ 是固定的，那么维护一个可持久化线段树，表示 $i\leq j \leq n$ 的答案，每次询问时找 $rt_{i+mid}$ 即可。

时间复杂度是 $O(n\log^2n)$ 的。收获80pts。

那么我们开始卡常考虑继续分析性质。

参考题解，我们发现一个及其神奇的和SA的height数组极像的性质：$f_i\leq f_{i+1}+1$。

不会证明，感性理解下。。。

那么就不需要二分 $f_i$ 的答案了，直接搞就好。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

程序

没测过，但应该没啥问题qwq。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
#define FO(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
#define fo(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i<=end_i;i++)
#define ff(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i< end_i;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i>=end_i;i--)
#define DEBUG(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define cle(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define db double
#define lb long db
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
inline int read()
{
	int x=0; char ch=getchar(); bool f=0;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') f=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	return f?-x:x;
}
#define CASET fo(___,1,read())
const int N=5e5+5;
const int M=N*60;
char s[N];
int n;
namespace SA{
	int base[N],rk[N],t[N],sa[N],height[N],f[N][20],l2[N];
	inline void rsort(int n,int m)
	{
		fo(i,1,m) base[i]=0;
		fo(i,1,n) base[rk[t[i]]]++;
		fo(i,1,m) base[i]+=base[i-1];
		fd(i,n,1) sa[base[rk[t[i]]]--]=t[i];
	}
	inline bool cmp(int x,int y,int l)
	{
		return (t[x]==t[y])&&(t[x+l]==t[y+l]);
	}
	inline void build(char *s,int n,int m)
	{
		s[n+1]=254;
		fo(i,1,n) rk[i]=s[i]-'a'+1,t[i]=i;
		rsort(n,m);
		for(int w=1,p;p<n;w<<=1)
		{
			p=0;
			fo(i,n-w+1,n) t[++p]=i;
			fo(i,1,n) if(sa[i]>w) t[++p]=sa[i]-w;
			rsort(n,p);
			fo(i,1,n) t[i]=rk[i];
			rk[sa[1]]=p=1;
			fo(i,2,n) rk[sa[i]]=(cmp(sa[i],sa[i-1],w)?p:++p);
		}
		for(int i=1,j,k=0;i<=n;height[rk[i++]]=k)
			for(k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
		fo(i,1,n) f[i][0]=height[i];
		l2[1]=0;
		fo(i,2,n) l2[i]=l2[i>>1]+1;
		fo(j,1,19)
			fo(i,1,n)
			{
				f[i][j]=f[i][j-1];
				if(i+(1<<j-1)<=n) f[i][j]=min(f[i][j],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
			}
	}
	inline int ask(int x,int y)
	{
		int l=l2[y-x+1];
		return min(f[x][l],f[y-(1<<l)+1][l]);
	}
	inline void work(int x,int k,int &L,int &R)
	{
		L=R=x; k--;
		int l,r,mid;
		for(l=1,r=x-1;l<=r;)
		{
			mid=l+r>>1;
			if(ask(mid+1,x)>=k) L=mid,r=mid-1; else l=mid+1;
		}
		for(l=x+1,r=n;l<=r;)
		{
			mid=l+r>>1;
			if(ask(x+1,mid)>=k) R=mid,l=mid+1; else r=mid-1;
		}
	}
}
using SA::rk;
int rt[N];
namespace PST{
	int ls[M],rs[M],mx[M],cnt;
	void add(int &u,int v,int l,int r,int p,int x)
	{
		u=++cnt; ls[u]=ls[v]; rs[u]=rs[v]; mx[u]=max(mx[v],x);
		if(l==r) return;
		int mid=l+r>>1;
		(p<=mid)?add(ls[u],ls[v],l,mid,p,x):add(rs[u],rs[v],mid+1,r,p,x);
	}
	int ask(int u,int l,int r,int L,int R)
	{
		if(L<=l&&r<=R) return mx[u];
		if(!u) return 0;
		int mid=l+r>>1,ans=0;
		if(L<=mid) ans=max(ans,ask(ls[u],l,mid,L,R));
		if(mid<R) ans=max(ans,ask(rs[u],mid+1,r,L,R));
		return ans;
	}
}

inline bool check(int i,int k)
{
	if(i+k<=n)
	{
		int l,r,mx=0;
		SA::work(rk[i],k,l,r);
		mx=PST::ask(rt[i+k],1,n,l,r);
		if(i<n)
		{
			SA::work(rk[i+1],k,l,r);
			mx=max(mx,PST::ask(rt[i+k],1,n,l,r));
		}
		return mx>=k-1;
	}
	else return 1>=k;
}
inline int calc(int i,int k)
{
	for(;!check(i,k);k--);
	return k;
}
int f[N];
int main()
{
	FO(brr);
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	SA::build(s,n,255);
	fd(i,n,1)
	{
		f[i]=calc(i,f[i+1]+1);
		PST::add(rt[i],rt[i+1],1,n,rk[i],f[i]);
	}
	int ans=0;
	fo(i,1,n) ans=max(ans,f[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}