K Paths[CF981H]

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题意

一棵树，选 $k$ 条路径，使得每条边在这 $k$ 条路径中的出现次数只能是 $0,1,k$ 中的其中一种。

路径点数至少为 $2$，可以选重复的路径，且路径有顺序。求满足条件的方案数模 $998244353$。

$n\leq 10^5$，时限4s。

题解

这题比上一题友好一点。

显然枚举这 $k$ 条路径的并集的两个端点 $u,v$，假设他们不是祖先关系。

那么要在 $u,v$ 的子树中选 $k$ 个点，设方案数为 $f_u,f_v$，那么这条路径的贡献就是 $f_u\times f_v$。

如果不考虑祖先关系，所有路径的贡献就是：

$$\sum_{i\not = j}f_i\times f_j=\frac{(\sum f_i)^2-\sum {(f_i^2)}}{2}$$

转换成求每个 $f_u$。

为了满足题意，这 $k$ 个点不能有某两个在其中一个儿子 $v$ 的子树中。

那么对于 $u$ 的每个儿子 $v$，最多能选一个点，剩下的点只能是 $u$ 。那么如果在子树中选了 $w$ 个点，由基础的组合数学可得贡献为 $P_{k}^w$。

对于每个儿子 $v$ 的贡献写成生成函数就是 $(1+siz_vx)$。

那么在子树中选 $w$ 个的方案数为 $[x^w]\prod_{v\in son_u}(1+siz_vx)$。

这一部分可以用分治ntt解决。

接下来考虑是祖先关系的情况。假设 $u$ 是 $v$ 的祖先，$w$ 是 $u$ 的儿子和 $v$ 的祖先。

那么 $u$ 的生成函数就变成了：

$$\frac{(\prod (1+siz_{son}x))(1+(n-siz_u)x)}{1+siz_wx}$$

在 $u$ 处产生的贡献就是：
$$\sum_v f_v\sum_{i=0}^kP_{k}^i[x^i]\frac{(\prod (1+siz_{son}x))(1+(n-siz_u)x)}{1+siz_wx}\=\sum_{i=0}^kP_{k}^i[x^i]\frac{(\prod (1+siz_{son}x))(1+(n-siz_u)x)}{(\sum_v f_v)(1+siz_{w(v)}x)}\=\sum_{i=0}^kP_{k}^ix^i(1+(n-siz_u)x)\prod_{son\not =w}(1+siz_{son}x)$$

这个十分经典，还是在分治FFT的时候算一下就可以了。

最后注意 $k=1$ 的特判。

时间复杂度 $O(n\log^2n)$。

程序

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
#define fo(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i<=end_i;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=(j),end_i=(k);i>=end_i;i--)
#define DEBUG(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define cle(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define db double
#define lb long db
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
inline int read()
{
    int x=0; char ch=getchar(); bool f=0;
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') f=1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
    return f?-x:x;
}
#define CASET fo(___,1,read())
const ll mod=998244353;
inline ll Add(ll x,ll y){x+=y; return (x<mod)?x:x-mod;}
inline ll Dec(ll x,ll y){x-=y; return (x<0)?x+mod:x;}
inline ll Mul(ll x,ll y){return x*y%mod;}
inline ll Pow(ll x,ll y){y%=(mod-1);ll ans=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1) ans=ans*x%mod;return ans;}
const int N=1e5+5;
const int M=1<<18;

typedef vector<ll> Poly;
ll W[M]; int R[M];
inline void PolyInit()
{
    ll wn;
    for(int i=1;i<M;i<<=1)
    {
        W[i]=1; wn=Pow(3,(mod-1)/2/i);
        fo(j,1,i-1) W[i+j]=W[i+j-1]*wn%mod;
    }
}
inline void ntt(ll *a,int n,int opt)
{
    fo(i,0,n-1)
    {
        R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
        if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    }
    ll w;
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
            for(int k=0;k<i;k++)
                w=W[i+k]*a[i+j+k]%mod,
                a[i+j+k]=Dec(a[j+k],w),
                a[j+k]=Add(a[j+k],w);
    if(opt==1) return;
    reverse(a+1,a+n);
    w=Pow(n,mod-2);
    fo(i,0,n-1) a[i]=w*a[i]%mod;
}
inline void ntt(Poly &A,int n,int t){ntt(&A[0],n,t);}
ll fac[N],inv[N];
inline void init(int n)
{
    fac[0]=1;
    fo(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=Pow(fac[n],mod-2);
    fd(i,n,1) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
int n,k;
namespace Tree{
    ll s1,s2,s,h[N],sh[N];
    int siz[N];
    vector<int> adj[N];
    inline void add(int x,int y)
    {
        adj[x].pb(y); adj[y].pb(x);
    }
    vector<int> w; int now;
    void solve(int l,int r,Poly &f,Poly &g)
    {
        if(l==r)
        {
            f.clear(); f.pb(1); f.pb(siz[w[l]]);
            ll sum=Add(sh[w[l]],h[w[l]]);
            g.clear(); g.pb(sum); g.pb(Mul(sum,now));
            return;
        }
        int mid=l+r>>1;
        Poly lf,lg,rf,rg;
        solve(l,mid,lf,lg); solve(mid+1,r,rf,rg);
        int len=1,m=lf.size()+rf.size()-1;
        for(;len<m;len<<=1);
        lf.resize(len); ntt(lf,len,1);
        lg.resize(len); ntt(lg,len,1);
        rf.resize(len); ntt(rf,len,1);
        rg.resize(len); ntt(rg,len,1);
        f.resize(len); g.resize(len);
        fo(i,0,len-1)
            f[i]=lf[i]*rf[i]%mod,
            g[i]=Add(Mul(lf[i],rg[i]),Mul(lg[i],rf[i]));
        ntt(f,len,-1); ntt(g,len,-1);
        f.resize(m); g.resize(m);
    }
    void dfs(int u,int pre)
    {
        siz[u]=1;
        for(auto v:adj[u]) if(v!=pre) dfs(v,u);
        w.clear();
        for(auto v:adj[u]) if(v!=pre)
        {
            siz[u]+=siz[v];
            w.pb(v);
            sh[u]=Add(sh[u],Add(h[v],sh[v]));
        }
        now=n-siz[u];
        if(!w.size()) w.pb(0);
        Poly f,g;
        solve(0,w.size()-1,f,g);
        fo(i,0,min(k,(int)f.size()-1))
            h[u]=Add(h[u],Mul(fac[k]*inv[k-i]%mod,f[i]));
        fo(i,0,min(k,(int)g.size()-1))
            s=Add(s,Mul(fac[k]*inv[k-i]%mod,g[i]));
        s1=Add(s1,h[u]); s2=Add(s2,h[u]*h[u]%mod);
        s=Dec(s,sh[u]*h[u]%mod);
    }
    inline ll work()
    {
        dfs(1,0);
        return Add(s,Mul(Pow(2,mod-2),Dec(s1*s1%mod,s2)));
    }
}
int main()
{
    n=read(); k=read();
    if(k==1) return printf("%lld",1ll*n*(n-1)/2%mod)&0;
    PolyInit();
    init(k);
    fo(i,2,n) Tree::add(read(),read());
    printf("%lld",Tree::work());
    return 0;
}